ছোটবেলায় সবেমাত্র যখন আমরা গণিত ধারাপাত শিখলাম, তখনই আমরা চেনা শুরু করি জ্যামিতিক আকারের নাম। বাক্স আকৃতির যেকোনো বস্তুকে আমরা চতুর্ভুজ বুঝতাম। কিন্তু চতুর্ভুজের রয়েছে নানান প্রকারভেদ।
চতুর্ভুজ কাকে বলে? চতুর্ভুজ এর বৈশিষ্ট্য, বিভিন্ন পার্থক্য ও সূত্রাবলী এখানে বর্ণনা করা হয়েছে।
চতুর্ভুজ কাকে বলে?
চতুর্ভুজ হল এমন একটি সমতল চিত্র যার চারটি বাহু বা প্রান্ত রয়েছে । এছাড়াও চারটি কোণ বা শীর্ষবিন্দু রয়েছে। অর্থাৎ চারটি রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
চতুর্ভুজ কয় প্রকার ও কি কি
 |
| চতুর্ভুজ কয় প্রকার |
চতুর্ভুজ মোট ৬ প্রকার। যথা:-
- আয়তক্ষেত্র।
- বর্গক্ষেত্র।
- রম্বস।
- সামান্তরিক।
- ট্রাপিজিয়াম।
- ঘুড়ি।
ছেদকের উপর ভিত্তি করে চতুর্ভুজকে সাধারণত দুভাগে ভাগ করা যায়ঃ
- সরল চতুর্ভুজ (none self-intersecting)
- জটিল চতুর্ভুজ (self-intersecting)
সরল চতুর্ভুজ (Simple Quadrilateral) কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক না কিংবা অন্য বাহুকে শীর্ষ ব্যতীত অন্য কোন বিন্দুতে ছেদ করে না তাকে সরল চতুর্ভুজ বলে।
সরল চতুর্ভুজ (Or Simple Quadrilateral) কত প্রকার ও কি কি?
সরল চতুর্ভুজকে আবার দুভাগে ভাগ করা যায়ঃ
- উত্তল চতুর্ভুজ (Convex Quadrilaterals)
- অবতল চতুর্ভুজ (Concave Quadrilaterals)
উত্তল চতুর্ভুজ কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০° এর চেয়ে ছোট এবং উভয় কর্ণ চতুর্ভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত তাকে উত্তল চতুর্ভুজ বলে।
উত্তল চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য
উত্তল চতুর্ভুজের কিছু বৈশিষ্ট্য নিম্নে উল্লেখ করা হলোঃ
- প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৮০° থেতে ছোট।
- সবগুলি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি ৩৬০°
- চারটি বাহু আছে
- চারটি কৌণিক বিন্দু অর্থাৎ শীর্ষ
- দুইটি কর্ণ আছে
- কর্ণ দুটির উভয়ই চতুর্ভুজের অভ্যন্তরে বিরাজমান।
অবতল চতুর্ভুজ কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০° থেতে বড় ও ৩৬০° থেতে ছোট (১৮০° < θ < ৩৬০°) এবং কর্ণ দুটির একটি কর্ণ চতুর্ভুজের বাইরে অবস্থিত তাকে অবতল চতুর্ভুজ বলে।
জটিল চতুর্ভুজ (Complex Quadrilateral)
যে চতুর্ভুজের একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক অথবা একটি বাহু অন্য বাহুকে শীর্ষ ব্যতীত অন্য কোন বিন্দুতে ছেদ করে তাকে জটিল চতুর্ভুজ বলে।
জটিল চতুর্ভুজকে অনেকক্ষেত্রে ক্রস চতুর্ভুজ (cross quadrilateral) বলে।
চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য
চতুর্ভুজের সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলোর মধ্যে রয়েছেঃ
- ৪টি বাহু
- ২টি কর্ণ
- ৪টি শীর্ষ বা কৌনিক বিন্দু
চতুর্ভুজের অনন্য বৈশিষ্ট্যগুলো হচ্ছে:
- উত্তল চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০° এর চেয়ে ছোট
- অবতল চতুর্ভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণ ১৮০° হতে বড় ও ৩৬০° হতে ছোট।
- উত্তল চতুর্ভুজের প্রতিটি কর্ণ চতুর্ভুজের অভ্যন্তরে থাকে।
- অবতল চতুর্ভুজের একটা কর্ণ চতুর্ভুজের অভ্যন্তরে এবং অন্য কর্ণ চতুর্ভুজের বাইরে থাকে।
- সরল চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃস্থ কোণের ৩৬০°।
- জটিল চতুর্ভুজের ৪টি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপের সমষ্টি ৭২০°।
- সরল চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহু দুটি, শীর্ষ বিন্দুতে মিলিত হয়।
- জটিল চতুর্ভুজের একটি বাহু আরেকটির ছেদক হয়।
- জটিল চতুর্ভুজের চারটি কোণের মধ্যে দুটি সূক্ষ্মকোণ ও দুটি প্রবৃদ্ধ কোণ।
আয়তক্ষেত্র কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেক কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য সমূহ এবং সূত্রাবলীঃ
- বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
- বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
- প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
- কর্ণদ্বয় সমান।
- কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণ দ্বারা দুটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়
- আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ ) একক।
- আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সূত্র = ( দৈর্ঘ্য × প্রস্থ ) বর্গ একক।
সামান্তরিক কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোন কোণ সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য সমূহ এবং সূত্রাবলীঃ
- বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
- বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
- বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
- কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।
- কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমানভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে থাকে ।
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সূত্র = ( ভূমি × উচ্চতা ) বর্গ একক।
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল আরেক সূত্র = ( একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য × ঐ কর্ণের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ) বর্গ একক।
- সামান্তরিকের পরিসীমা সূত্র = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ ) একক
বর্গক্ষেত্র কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের প্রত্যেকটা বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেক কোণ সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।
বর্গক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য সমূহ এবং সূত্রাবলীঃ
- প্রত্যেকটি বাহু পরস্পর সমান।
- প্রত্যেকটি কোণ পরস্পর সমকোণ।
- কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।
- কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বর্গের একটি কর্ণ দুটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
- বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সূত্র = ( এক বাহুর দৈর্ঘ্য )২ বর্গ একক।
- বর্গের পরিসীমা সূত্র = ( ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য ) একক।
রম্বস কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের প্রত্যেকটা বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোন কোণ সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের বৈশিষ্ট্য সমূহ এবং সূত্রাবলীঃ
- প্রত্যেকটি বাহু পরস্পর সমান।
- বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
- কর্ণদ্বয় অসমান।
- কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমানভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- রম্বসের ক্ষেত্রফল সূত্র = ১/২ × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল ) বর্গ একক।
- রম্বসের পরিসীমা সূত্র = ( ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য ) একক।
ট্রাপিজিয়াম কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু কোন কোণ সমকোণ নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য সমূহ এবং সূত্রাবলীঃ
- এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল সূত্র = ১/২ × ( সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব।
ঘুড়ি কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া বাহু পরস্পর সমান যেখানে প্রত্যেক জোড়া সমান বাহুদ্বয় সন্নিহিত তাকে ঘুড়ি বলে।
ঘুড়ির বৈশিষ্ট্য ও সূত্রাবলী
- ঘুড়ির অন্তঃস্থ কোণগুলোর যোগফল ৩৬০°
- ঘুড়ির চারটি বাহু সমান হলে তখন এটি রম্বস হয়ে যায়
- ঘুড়ির যে কর্ণটি ঘুড়িকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে সে কর্ণের বিপরীত পাশের কোণ দুটি পরস্পর সমান।
- ঘুড়ির অন্তঃস্থ কোণগুলোর পরিমাপ সমান হলে তখন বর্গক্ষেত্র হয়ে যায়।
- ঘুড়ির একটি কর্ণ অন্য কর্ণকে সমকোণে ছেদ করে।
- কর্ণ ২টির মধ্যে কেবল একটি কর্ণ ঘুড়িকে ২টি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
- কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে একটি কর্ণ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
- কর্ণ দুইটির মধ্যে একটি কর্ণ বিপরীত কোণদ্বয়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- ঘুড়ির প্রত্যেক ভিন্ন জোড়ার সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান।
- অসমান বাহুদ্বয় দ্বারা গঠিত বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান ঘুড়ির।
- ঘুড়ির প্রত্যেক জোড়া সমান বাহুদ্বয় একই শীর্ষ থেকে উৎপন্ন।
- ঘুড়ির কর্ণ দুটির মধ্যে কেবল একটি কর্ণ ঘুড়িকে দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ -এ বিভক্ত করে
- যদি একটি ঘুড়ির এক জোড়া সমান বাহু প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a এবং অন্য জোড়া সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ব হয় তবে, পরিসীমা P = ২(a + b) একক
- যদি একটি ঘুড়ির কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য হলো d1 এবং d2. তবে,
- ঘুড়ির ক্ষেত্রফল = d1d2 বর্গ একক
প্রশ্ন ১ঃ চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি কত?
উত্তরঃ চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ।
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°।
=৪×৯০°= চার সমকোণ।
প্রশ্ন ২ঃ চতুর্ভুজ ইংরেজি কি?
উত্তরঃ চতুর্ভুজ এর ইংরেজি হলো Quadrilateral, quad.
আরও পড়ুন - কোণ কাকে বলে? কোন কত প্রকার ও কি কি? সংজ্ঞা সহ বৈশিষ্ট্য
চতুর্ভুজ কাকে বলে, চতুর্ভুজ কত প্রকার, চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য, চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র, চতুর্ভুজ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। বুঝতে কোন অসুবিধা হলে কমেন্ট করে জানাতে পারেন।